idéal

Pourquoi c’est confus

Un idéal, dans la langue ordinaire, est ce vers quoi l’on tend sans l’atteindre. En algèbre, c’est un sous-ensemble d’un anneau tel que multiplier n’importe lequel de ses éléments par n’importe quel élément de l’anneau donne encore un élément du sous-ensemble.

Entre les deux, aucun rapport. Le mot n’est pas même un faux ami : c’est un nom propre déguisé, le reste d’une théorie abandonnée, dont le sens d’origine ne se devine plus.

Suggestion

« Partie absorbante » dit exactement la propriété qui définit l’objet : on y entre par multiplication et on n’en sort pas. « Absorbant », plus court, convient à l’usage courant une fois la notion posée.

Risques

Le mot est partout dans la littérature, et les expressions dérivées — idéal premier, idéal maximal, anneau principal — forment une famille entière qu’il faudrait renommer d’un bloc. Changer « idéal » seul laisserait « idéal premier » orphelin, ce qui serait pire que l’état actuel.

D’où ça vient

Kummer avait introduit des « nombres idéaux » pour rétablir une factorisation unique qui échouait sans eux : des nombres qui n’existaient pas, mais dont le comportement se déduisait. Dedekind a remplacé ces objets fictifs par les ensembles qui les représentent, et a gardé l’adjectif. Le nom désigne donc aujourd’hui la solution à un problème que l’adjectif décrivait.